Pengembangan Konsep Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Pengembangan Konsep Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil-Seperti yang telah saya tuliskan sebelumnya tentang mengembangkan dan mengkomunikasikan konsep matematika, bahwa konsep matematika dibangun oleh konsep-konsep yang abstrak. Bagi siswa sekolah dasar, bilangan genap dan ganjil merupakan salah satu konsep yang tidak mudah dipahami. Jika guru tidak mengenalkan konsep ini dengan baik, maka siswa akan kesulitan untuk mempelajari konsep-konsep lanjutan misalnya konsep bilangan prima, konsep kelipatan, faktor dan ketrampilan-ketrampilan yang menuntut penguasaan konsep bilangan genap dan bilangan ganjil.

Konsep sangat erat kaitannya dengan definisi definisi yang berhubungan dengan konsep. Guru yang akan mengajarkan konsep ini hendaknya mengajarkan definisi-definisi terkait konsep mulai dari definisi yang paling mudah dimengerti oleh siswa sampai pada definisi formal. Pemahaman akan definisi formal akan lebih mudah jikalau siswa selalu dilatihkan mendefinisikan sesuatu (konsep matematika) dengan caranya sendiri berdasarkan contoh konsep dan bukan contoh konsep yang diberikan.

Pembelajaran di SD

Pembelajaran untuk pengembangan konsep bilangan ganjil dapat dimulai ketika guru telah sangat yakin bahwa para siswanya tidak memiliki miskonsepsi terkait dengan konsep pembagian. Materi prasyarat untuk pengenalan konsep bilangan ganjil dan genap adalah materi pembagian bilangan asli.Hal ini dikarenakan definisi dari bilangan ganjil dan bilangan genap untuk siswa sekolah dasar menggunakan konsep habis dibagi dan tidak habis dibagi. Bilangan asli yang tidak habis dibagi dua disebut bilangan ganjil sedangkan bilangan asli yang habis dibagi dua disebut bilangan genap.

Konsep : Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Contoh Konsep dan Bukan Contoh Konsep

1. 1, 3, 5, 7, 11,... adalah bilangan ganjil, sebab bilangan-bilangan tersebut jika dibagi dua selalu mempunyai sisa satu. Dengan kata lain bilangan-bilangan tersebut tidak habis dibagi dua. 
2. 2, 4, 6, 8, 10,.... adalah bilangan-bilangan genap, sebab jika bilangan-bilangan tersebut dibagi dua sisanya nol. Dengan kata lain bilangan-bilangan tersebut habis dibagi dua. 

Dalam kaitannya dengan contoh konsep dan bukan contoh konsep bilangan ganjil dan bilangan genap, guru perlu menggunakan media atau alat peraga yang sesuai. Media yang dapat guru gunakan untuk menanamkan konsep bilangan ganjil dan genap kepada siswa, adalah kelereng, lidi atau benda lain yang mudah ditemukan oleh siswa. Langkah-langkah pembelajarannya adalah sebagai berikut:

Ambilah sejumlah lidi atau kelereng, kemudian dikelompokan dua-dua. Jika ternyata ada lidi atau kelereng yang tidak mempunyai pasangan maka banyaknya lidi atau kelereng yang diambil adalah ganjil.Perlihatkan kepada siswa dengan suruhan : Pandang kelompok kelereng di bawah ini, kemudian hitung banyaknya kelereng menurut baris :

Kelereng di atas dikelompokan dua-dua ternyata menyisahkan satu, atau ada kelereng yang tidak mempunyai pasangan. Dengan demikian 1, 3, 5, 7 merupakan bilangan ganjil. Dengan algoritma yang sama anda juga dapat menunjukan bahwa, 2, 4, 6, 8,... merupakan bilangan-bilangan genap. 

Untuk lebih memantapkan pemahaman siswa tentang konsep bilangan ganjil dan genap, sebaiknya anda melakukan hal-hal sebagai berikut:

1. Tugasi beberapa siswa masing-masing mengambil lidi atau kelereng atau benda lain yang ada di sekitar siswa. 
2. Masing-masing siswa disuruh mengelompokan benda-benda yang dikumpulkannya dua-dua. 
3. Masing-masing anak disuruh menghitung kelereng yang telah dipisahkannya dua-dua 
4. Pisahkan siswa yang mengelompokan-benda-benda tersebut yang menyisahkan satu dan yang tidak menyisahkan setelah benda-benda dikelompokan. 
5. Jelaskan kepada siswa kelompok mana yang memegang kelereng atau benda lain dengan jumlah ganjil dan kelompok mana yang memegang kelereng atau benda lain dengan jumlah genap. 

Pembelajaran di SMP

Untuk tingkat yang lebih tinggi, misalnya tingkat kompetensi SMP, berdasarkan definisi dan contoh bilangan ganjil dan bilangan genap tersebut di atas dapat didefinisikan secara lebih formal sebagai berikut.

1. Bilangan ganjil adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk 2k + 1, dengan k adalah bilangan cacah. 
2. Bilangan genap adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk 2k, dengan k adalah bilangan cacah. 

Contoh :

1. 5 = 2(2) + 1, jadi 5 adalah bilangan ganjil

2. 7 = 2(3) + 1, jadi 7 adalah bilangan ganjil

3. 8 = 2(4), jadi 8 adalah bilangan genap

4. 10 = 2(5), jadi 10 adalah bilangan genap.

Setelah siswa melihat dan dan dapat menentukan contoh dan bukan contoh dari bilangan ganjil dan genap secara lebih formal, siwa dapat diajak untuk melihat sifat bilangan ganjil dan genap. Misalkan siswa diminta memperhatika penjumlahan berikut:

3 + 7 = 10

1 + 5 = 6

13 + 25 = 28

17 + 13 = 30

Hasil penjumlahan dari dua bilangan ganjil seperti di atas selalu merupakan bilangan genap. Kepada siswa anda dapat menjelskan secara induktif seperti di atas dan menyimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. 

Tetapi dalam matematika hal ini harus dibuktikan secara deduktif, artinya dari pernyataan yang benar yang bersifat umum diberlakukan untuk pernyataan-pernyataan khusus. Pembuktian secara deduktif dapat diperlihatkan sebagai berikut.Tentu saja pembuktian ini tidak untuk diperkenalkan pada siswa sekolah dasar.

Teorema : Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap

Bukti : Misalkan x dan y masing-masing adalah bilangan ganjil. Maka menurut definisi x dan y dapat ditulis :

x = 2k +1, k adalah bilangan cacah

y = 2h + 1, h adalah bilangan cacah

Jadi x + y = (2k+1)+(2h+1)

                = 2k + 2h +2

                = 2 (k+h+1)

Karena k, h, 1 adalah bilangan-bilangan cacah maka k+h+1 juga merupakan bilangan cacah. Misalkan : k+h+1= g maka x+y = 2g, dengan g adalah bilangan cacah. Jadi menurut definisi x+y merupakan bilangan genap.

Berbagi :