Teori Bilangan: Apa Yang Dipelajari ?

Teori Bilangan: Apa Yang Dipelajari ?

Mathematics is the queen of sciences  and arithmetic the queen of mathematics.
Carl Friedrich Gaus [WEC02]

Teori bilangan adalah cabang dari matematika dimana yang dipelajari adalah sifat dan hubungan antara beberapa tipe bilangan. Semesta pembicaraan dalam Teori Bilangan yang paling penting adalah himpunan bilangan bulat positif (Z).Sebagai salah satu cabang matematika, teori bilangan dapat disebut sebagai “Aritmetika Lanjut (Advanced Arithmetics)”. Dalam teori bilangan terdapat beberapa bagian yang dipelajari berhubungan dengan bilangan bulat yaitu diantaranya: bilangan prima (prime numbers), teorema fundamental aritmetika (fundamental theory of arithmetic), kongruensi (congruences) dan uji-uji keprimaan (primality test).

Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya terdiri dari dua faktor yaitu 1 dan bilangan prima itu sendiri. Inti penting dari teori bilangan adalah menunjukkan bahwa bilangan-bilangan bulat dibangun dari hasil perkalian bilangan-bilangan prima. Bilangan prima merupakan multiplicative building blocks dari bilangan bulat. Artinya, setiap bilangan bulat positif dapat diformulasi secara unik sebagai perkalian dari bilangan bilangan prima. Pernyataan ini merupakan bunyi dari teori penting dalam teori bilangan yaitu teorema dasar aritmetika (fundamental theorem of arithmetics).

Teori bilangan telah menarik perhatian ilmuwan selama ribuan tahun, kira-kira sejak 2.500 tahun yang lalu. Perhatian kepada pentingnya bilangan prima telah dimulai oleh matematisi dari Yunani yaitu Euclid. Pertanyaan penting untuk dipikirkan tentang bilangan prima adalah adalah apakah ada takhingga banyak bilangan prima ? Euclid menyatakan dan membuktikan bahwa memang benar ada takhingga banyak bilangan prima. Theorema dan bukti ini telah dinyatakan sebagai salah satu teori dan bukti yang paling indah dari semua bukti-bukti yang ada dalam matematika. Euclid juga merupakan penemu Algoritma Euclidean, yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, Element.

Studi tentang bilangan prima terus berkembang khususnya pada abad ke-17 dan ke-18. Pada masa-masa inilah disebut awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh para matematisi seperti: Pierre de Femmat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1735-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963) yang menghasilkan beberapa bukti dan konjektur penting yang berhubungan dengan teori bilangan [HTTP1]. Salah satu matematisi terbesar paling besar pada abad ke-18 dalam sejarah teori bilangan ini adalah seorang Jerman bernama Carl Friedrich Gaus yang mengembangkan tentang kekongruenan (congruences). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics [KHR11].

Masalah pemilahan bilangan prima dari sekumpulan bilangan bulat merupakan salah satu masalah penting dan merupakan persoalan yang rumit dalam teori bilangan. Sejak abad ke-19 ditemukan banyak cara untuk menentukan apakah sebuah bilangan bulat termasuk bilangan prima atau bukan. Tes tersebut dinamakan tes keprimaan (primality tests). Tes yang paling sederhana dalam menentukan apakah sebuah bilangan bulat positif merupakan bilangan prima atau bukan bilangan prima tidak efektif untuk bilangan-bilangan yang lebih besar. Tes sederhana tersebut adalah” sebuah bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika bilangan bulat tersebut tidak habis dibagi dengan sekurang-kurangnya satu dari bilangan bilangan prima yang lebih kecil atau sama akar kuadrat dari bilangan itu.

Banyak pendekatan yang digunakan untuk memilah bilangan prima dari bilangan bulat. Sebagai contoh, pada abad ke-19 Pierre de Fermat menunjukkan bahwa: jika maka p merupakan bilangan prima. Hal ini berarti ketika akan menguji apakah sebuah bilangan n merupakan bilangan prima atau tidak, cukup dibuktikan bahwa dipastikan n adalah bilangan prima. Ternyata setelah dicoba ada bilangan bulat seperti 341 yang bukan merupakan bilangan prima (bilangan komposit). Karena 341=11x31 tetapi
Bilangan komposit n yang memenuhi  disebut dengan bilangan prima semu (pseudoprimes). Untunglah bilangan prima semu relatif jarang ditemui artinya, diperlukan banyak waktu untuk menemukan bilangan yang bukan bilangan prima semu. Tetapi perlu diingat bahwa ada takhingga banyak bilangan bulat yang harus dibuktikan dan dibutuhkan banyak waktu untuk membuktikan bilangan bulat yang bukan bilangan prima semu. Oleh karenanya kita tidak dapat dengan pasti menentukan jika  maka n adalah bilangan prima. Pendekatan ini tidak bisa digunakan untuk membuktikan bahwa sebuah bilangan bulat adalah bilangan prima.

Mencari sebuah metode atau pendekatan yang efisien untuk membuktikan bahwa sebuah bilangan bulat adalah bilangan prima terus menjadi pertanyaan dalam kurun waktu ratusan tahun. Sebuah kejutan untuk komunitas matematika, pertanyaan ini terjawab pada Tahun 2002 oleh tiga orang ilmuwan komputer India yaitu Manindra Agrawal, Neeraj Kayal dan Nitin Saxena. Mereka menemukan algoritma yang dapat membuktikan primalitas sebuah bilangan bulat dalam sebuah waktu polinomial [KHR11].

Memfaktorkan bilangan bulat positif menjadi bilangan-bilangan prima juga merupakan masalah pokok dalam teori bilangan.Pemfaktoran bilangan bulat positif dapat dilakukan dengan cara coba-coba yaitu membagi bilangan bulat positif dengan bilangan-bilangan prima. Cara ini mebutuhkan waktu yang relatif lama.Fermat, Euler dan banyak matematisi yang lain menemukan cara-cara untuk memfaktorisasi bilangan-bilangan bulat. Dengan menggunakan teknik-teknik tersebut juga dapat dengan mudah menemukan bilangan prima yang terdiri dari ratusan dan bahkan mungkin ribuan angka dan memfaktorkan bilangan bulat dengan banyak angka.

Dikotomi antara besarnya bilangan dan waktu yang dibutuhkan untuk menentukan apakah sebuah bilangan bulat merupakan bilangan prima telah menjadi keuntungan dalam penciptaan sistem keamanan pesan yaitu RSA cryptosystem [KHR11]. Aritmetika modulo dan bilangan prima mempunyai banyak aplikasi dalam ilmu komputer khususnya bidang kriptografi, suatu bidang ilmu dan seni menjaga keamanan pesan [RM12]. Sistem RSA (Rivest-Shamir-Adleman) merupakan salah satu sistem dalam kriptografi. Kriptografi merupakan sistem keamanan pesan dimana setiap individu memiliki sebuah kunci pribadi (privat key). Pesan-pesan yang dikirimkan akan dienskripsi oleh setiap orang menggunakan public key masing-masing tetapi pesan tersebut hanya dapat dideskripsi oleh pemilik pesan atau yang memiliki privat key pemilik pesan. Oleh karenanya, pemahaman yang baik tentang konsep teori bilangan khususnya aritmetika modulo dan bilangan prima sangat penting untuk dapat memahami prinsip kerja dari RSA cryptosystem [KHR11].

Masalah lain dari teori bilangan yang juga penting adalah menentukan penyelesaian bulat dari sebuah persamaan. Sebuah persamaan dengan syarat utama bahwa penyelesaiannya harus bilangan bulat dinamakan persamaan diophantine (merupakan nama matematisi Yunani, Diophantus). Banyak jenis persamaan diophantine yang ada, namun yang paling terkenal adalah persamaan Fermat : . Teorema terakhir Fermat adalah jika  dan  maka persamaan  tidak memiliki solusi yang bulat. Fermat menuliskan teorema ini tetapi tidak meninggalkan buktinya sehingga masih dianggap sebagai sebuah konjektur. Sejak abad ketujuhbelas, konjektur ini bisa diterima namun para matematisi terus membuktikan konjektur ini sampai kurang lebih tiga abad. Konjektur ini bisa diterima menjadi theorema antara Tahun 1994-1995 ketika Andrew J. Willes dapat membuktikannya. Konon, Willes memerlukan kurang lebih 200 lembar kertas untuk menuliskan langkah-langkah pembuktian teorema ini [WM11].

Berdasarkan bukti yang ditunjukan oleh Willes, teori bilangan dianggap bukan sesuatu yang mapan tetapi akan terus berkembang. Eksperimen dan eksplorasi memainkan peranan yang penting dalam belajar teori bilangan. Penemuan hasil eksperimen dan eksplorasi dapat membuat teori sebelumnya lebih mapan ataupun bisa difalsifikasi. Dengan berkembangnya internet setiap orang dapat ikut berpartisipasi dalam mengembangkan teori bilangan. Sebagai contoh, siapa saja dapat bergabung untuk menentukan bilangan prima Marsene yaitu bilangan prima dengan bentuk dimana p adalah bilangan prima. Pada Agustus 2008, bilangan prima pertama dengan banyak 10 juta angka berhasil ditemukan yaitu  . Penemuan ini dihargai $100.000 oleh Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation secara khusus memberikan perhatian bagi penemuan bilangan prima yang lebih besar dari 100 juta angka [KHR11]. Setelah belajar teori bilangan seharusnya kita dapat secara bijak menggunakan komputer dan modem atau jaringan internet misalnya untuk mendapatkan hadiah dari Electronic Frontier Foundation yang tentunya tersedia dengan jumlah yang semakin fantastis.

Selain masalah di atas, masih banyak permasalahan terutama konjektur-konjektur dalam teori bilangan yang belum terpecahkan, misalnya: konjektur Goldbach’s, konjektur Twin Prime, konjektur 3n+1, cara cepat memfaktorkan bilangan bulat yang besar, dan masih banyak lagi masalah lainnya [WEC02]. Jadi belajar teori bilangan tidaklah mudah, namun demikian tentu dapat dipelajari dan ada keindahan di dalamnya.

Sumber:

[KHR11] Rosen, K.H.2011. Elementary Number Theory (6th Ed). Boston: Addison-Wesley
[WEC02] Clark, W.E. 2002. Elementary Number Theory (a revision by: Jim Hefferon).[online]. University of Florida. Tersedia di jim@joshua.smcvt.edu diakses 12 April 2007.
[WM11] Murtiningsih, W. 2011. Para Pendekar Matematika dari Yunani hingga Persia. Yogyakarta: Diva Press.
[RM12] Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika
[HTTP1] http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss diakses 17 Februari 2015.
loading...

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Teori Bilangan: Apa Yang Dipelajari ?"

Post a Comment

loading...

Iklan Atas Artikel

loading...

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

loading...

Iklan Bawah Artikel