Matematika SMP: Barisan dan Deret Geometri

Matematika SMP: Barisan dan Deret Geometri - Pada postingan sebelumnya telah dibahas tentang Barisan dan deret Aritmetika beserta soal dan penyelesaiannya. Masih dalam materi tentang Barisan dan Deret, pada postingan kali ini akan dibahas tentang Barisan Geometri dan Deret Geometri yang sedang dipelajari oleh siswa SMP Kelas VIII.

Barisan geometri merupakan sebuah barisan yang nilai setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dihitung dengan rumus $U_n = ar^{n - 1}$ dimana rasio r merupakan perbandingan antara suku pada barisan yaitu $r = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{U_3}{U_2} = \cdots = \dfrac{U_n}{U_{n - 1}}$, $U_n = suku\ ke-n$, $n = banyak\ suku$.

Deret geometri merupakan penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Dengan kalimat lain, deret geometri merupakan deret yang memiliki rasio (perbandingan) tetap. Deret Geometri disebut juga dengan deret ukur. Sedangkan, penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$\bullet$ $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\ jika\ -1 < r < 1$

$\bullet$ $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\ jika\ r > 1$

Deret Geometri Naik dan Deret Geometri Turun

Suatu deret geometri yang nilai suku berikutnya selalu lebih besar dari nilai suku sebelumnya disebut deret geometri naik. Sedangkan jika nilai suku berikutnya selalu lebih kecil dari nilai suku sebelumnya disebut deret geometri turun. Jadi jika, $U_{n+1} > U_{n}$ maka deret tersebut merupakan deret geometri naik dan jika $U_{n+1} < U_{n}$ maka deret tersebut merupakan deret geometri turun.

Deret Geometri Harmonis atau Deret Geometri Bergantian

Sebuah deret geometri disebut deret geometri harmonis atau deret geometri bergantian jika rasio dari deret geometri tersebut bernilai negatif.

Rumus Suku Tengah pada Deret Geometri

$U_t = \sqrt{a.U_n}$

Rumus Sisipan Pada Deret Geometri

$\bullet$ Jika banyak suku yang disisipkan genap:

$r' = \sqrt[k + 1]{\dfrac{U_n}{a}}$

$\bullet$ Jika banyak suku yang disisipkan ganjil:

$r' = \pm \sqrt[k + 1]{\dfrac{U_n}{a}}$

Dimana: $r'$ = rasio dari deret baru, $k$ = banyak bilangan yang disisipkan, $a\ dan\ U_n$ = dua bilangan yang disisipi

Rumus Barisan Dan Deret Geometri Tak Hingga

$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$

Contoh Soal dan Penyelesaian:

Contoh 1.

Selidikilah apakah 16+8+4+2+ . . . merupakan deret geometri !

Penyelesaian:

Diketahui: $U_{1}=16$, $U_{2}=8$, $U_{3}=4$, $U_{4}=2$

Untuk menyelediki, apakah 16+8+4+2+ . . . merupakan deret geometri maka harus ditunjukan bahwa rasionya selalu tetap.

$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$ , $\frac{U_{3}}{U_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ , $\frac{U_{4}}{U_{3}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Karena rasionya selalu tetap maka 16+8+4+2+ . . .merupakan deret geometri.

Contoh 2.

Tentukan, manakah yang termasuk deret geometri naik dan manakah yang termasuk deret geometri turun.
a. 3 + 9 + 27 + 81+ ...
b. -2 + (-4) + (-8) + (-16) + ....

Penyelesaian:

a. Perhatikan deret 3 + 9 + 27 + 81+ ...

$U_{1}=3$ , $U_{2}=9$ , $U_{3}=27$, $U_{4}=81$

$U_{2}> U_{1}$ , $U_{3}> U_{2}$, $U_{4}> U_{3}$

Karena $U_{n+1} > U_{n}$ maka deret 3 + 9 + 27 + 81+ ...tersebut merupakan deret geometri naik.

b. Perhatikan deret -2 + (-4) + (-8) + (-16) + ....

$U_{1}=-2$ , $U_{2}=-4$ , $U_{3}=-8$, $U_{4}=-16$

$U_{2}< U_{1}$ , $U_{3}<U_{2}$, $U_{4}< U_{3}$

Karena $U_{n+1} < U_{n}$ maka deret -2 + (-4) + (-8) + (-16) + .... tersebut merupakan deret geometri turun

Contoh 3:

Selidikilah, apakah deret 2 + (-4) + (8) + (-16) + .... merupakan deret geometri harmonis?

Penyelesaian:

Perhatikan deret 2 + (-4) + (8) + (-16) + ....

$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-4}{2}=-2$,$\frac{U_{3}}{U_{2}}=\frac{8}{-4}=-2$, $\frac{U_{4}}{U_{3}}=\frac{-16}{8}=-2$

Karena deret 2 + (-4) + (8) + (-16) + .... memiliki rasio negatif yaitu -2, maka deret 2 + (-4) + (8) + (-16).... disebut deret geometri harmonis.

Contoh 4:

Tentukanlah suku ke-6 dari deret geometri 81 + 27 + 9 + 3 +.....

Penyelesaian:

Diketahui deret :

81 + 27 + 9 + 3 +.....

$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$

$\frac{U_{3}}{U_{2}}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$

$\frac{U_{4}}{U_{3}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Kesimpulannya : $r=\frac{1}{3}$

$U_{n}=U_{1}\times r^{n-1}$

$U_{6}=81\times \left ( \frac{1}{3} \right )^{6-1}$

$=81\times \left ( \frac{1}{3} \right )^{5}$

$=81\times \frac{1}{243}$

$=\frac{1}{3}$

Jadi suku ke 6 dari deret geometri 81 + 27 + 9 + 3 +..... adalah $\frac{1}{3}$

Contoh 5:

Diketahui $U_n$ menyatakan suku $ke-n$ suatu barisan geometri yang suku-sukunya positif. Jika $U_7 - U_3 = 24\sqrt{2}$ dan $U_3 = 3\sqrt{3}U_2$, suku $ke-6$ barisan tersebut adalah . . . .

Penyelesaian:

$U_7 - U_3 = 24\sqrt{2}$

$ar^6 - ar^2 = 24\sqrt{2}$ . . . . (*)

$U_5 = 3\sqrt{3}U_2$

$ar^4 = 3\sqrt{3}.ar$

$r^3 = 3\sqrt{3}$

$r^3 = (\sqrt{3})^3$

$r = \sqrt{3}$

Masukkan $r = \sqrt{3}$ ke persamaan (*)

$a.(\sqrt{3})^6 - a.(\sqrt{3})^2 = 24\sqrt{2}$

$27a - 3a = 24\sqrt{2}$

$24a = 24\sqrt{2}$