Matematika SMP Kelas IX: Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar - TIPS BELAJAR MATEMATIKA

Matematika SMP Kelas IX: Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Matematika SMP Kelas IX: Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar - Salah satu materi matematika SMP Kelas IX Kurikulum Nasional (Kurnas) 2013 adalah Bilangn berpangkat dan bentuk akar. Pada postingan kali ini, saya akan membahasnya secara rinci, guna membantu para siswa SMP Kelas IX yang tengah belajar dari rumah (BDR) akibat pandemi Covid-19.

A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

1. Pengertian Perpangkatan Bilangan

Bentuk bilangan berpangkat sangat banyak manfaatnya apabila kita bertemu dengan bilangan yang sangat besar atau sangat kecil dalam menyatakan panjang sebuah obyek atau jarak maupun massa. Tentu saja dibutuhkan waktu, ruang menulis dan ketelitian untuk menuliskan bilangan-bilangan besar seperti  massa molekul hidrogen yang besarnya sekitar 0,000.000.000.000.000.000.000.000.003.340 kg atau masa massa bumi sekitar yang besarrnya sekitar  5.940.000.000.000.000.000.000.000 kg,



Tentu saja, kita akan kesulitan menuliskan bilangan-bilangan tersebut. Oleh karena itu, massa molekul hidogen ditulis singkat menjadi $3,34\times 10^{-27}$ kg. Massa bumi ditulis menjadi $5,94\times 10^{24}$  kg. Demikian juga dengan kecepatan cahaya, akan terasa lebih mudah menuliskan $3\times 10^{11}$  m/s daripada menulis 300.000.000.000 m/s. Oleh karena itu, materi tentang pangkat dan akar sangat penting untuk dipelajari. Sekarang mari kita mulai mempelajari penulisan bilangan berpangkat.

Perhatikan contoh-contoh di bawah ini:

$2^{3}=2\times 2\times 2$  ada 3 kali perkalian  angka 2

$-5^{5}=-5\times -5\times -5\times -5\times -5$,   ada 5 kali perkalian angka -5

$2^{15}=2\times 2\times \cdots \times 2$,    ada 15 kali perulangan(faktor)

$a^{10}=a\times a\times \cdots \times a$,   ada 10 faktor




Dengan demikian bentuk umum bilangan berpangkat dapat ditulis:

Untuk a bilangan real,  ${a}''=\underset{n faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times ...\times a}}$ dimana : a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar dan n disebut pangkat atau eksponen. $a^{n}$ dibaca a pangkat n.
Dengan demikian, bilangan berpangkat dapat diperoleh dari perkalian berulang dengan faktor-faktor yang sama.

2. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat


Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat postif, bilangan bulat negarif dan nol. Oleh karenanya bilangan berpangkat bilangan bulat adalah bilangan-bilangan yang berpangkat negatif, positif dan nol.

a. Bilangan berpangkat nol

Setiap bilangan bulat jika dipangkatkan dengan nol hasilnya adalah 1. Jadi bilangan bulat apapun kecuali 0 jika dipangkatkan dengan 0 selalu bernilai 1.
Untuk semua bilangan bulat a, kecuali a=0, berlaku $a^{0}=1$. 
Sebagai contoh $2^{0}=1$, $3^{0}=1$.

b. Bilangan berpangkat bulat positif

Perhatikan contoh-contoh berikut ini:
$2^{3}=2\times 2\times 2=8$
$3^{2}=3\times 3=9$
Contoh di atas merupakan  bilangan berpangkat positif.

c. Bilangan berpangkat bulat negatif.

$2^{-1}$, $2^{-2}$, $3^{-5}$ adalah contoh contoh bilangan dengan pangkat negatif. Bilangan berpangkat bulat negatif  dapat dirubah menjadi bilangan berpangkat bulat positif sebagai berikut:
$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ dan $(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^{n}$ 

3. Operasi Hitung yang Melibatkan Bilangan Berpangkat


Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam pengerjaan operasi hitung yang melibatkan bilangan berpangkat adalah urutan pengerjaannya sebagai berikut:
1. Kerjakan operasi dalam kurung terlebih dahulu
2. Lanjutkan dengan operasi perpangkatan
3. Kerjakan operasi perkalian dan pembagian
4.Kerjakan operasi penjumlahan atau pengurangan.

Contoh 1:

$3+5\times 4^{2}\leftarrow$ lakukan operasi perpangkatan
$=3+5\times 16\leftarrow$  Lakukan operasi perkalian
$=3+80\leftarrow$ Lakukan operasi penjumlahan
$=83$

Contoh 2:

$\left ( 2\times 3 \right )^{2}\div 3^{2}-3\leftarrow$  Lakukan operasi dalam kurung
$=6^{2}\div 3^{2}-3\leftarrow$   Lakukan operasi perpangkatan
$=36\div 9-3\leftarrow$  Lakukan Operasi pembagian
$=4-3$    Lakukan operasi pengurangan
$=1$ 


4. Perkalian Pada Perpangkatan



Operasi perkalian pada perpangkatan dengan bilangan pokok yang sama berlaku sifat sebagai berikut:
$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ 
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat  $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ akan diperoleh sifat-sifat sebagai berikut.
1. $\left ( a^{m} \right )^{n}=\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{mn}$
2. $\left ( a\times b \right )^{m}=a^{m}\times b^{m}$
Contoh 1 :

 $3^{3+2}=3^{3} \times 3^{2}$

$3^{3+2}=3^{5}$

$3^{3+2} =3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

$3^{3+2}= \underbrace {3 \times 3 \times 3}_{3~faktor} \times \underbrace{3 \times 3}_{2~faktor}$

$3^{3+2}= 3^{3} \times 3^{2}$

Contoh 2:

$\left(5^{3}\right)^{2}=5^{3} \times 5^{3}$

$= \left(5 \times 5 \times 5\right) \times \left(5 \times 5 \times 5\right)$

$= 5^{6}$


Contoh 3:

Tunjukkan bahwa \(\left(2 \times 3 \right)^{2} = 2^{2} \times 3^{2}\)

\[

\begin{array}{rl}

\left(2 \times 3 \right)^{2} &= \left(2 \times 3 \right) \times \left(2 \times 3 \right)\\

&= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \\

&= 2^{2} \times 3^{2}

\end{array}

\]

5. Pembagian pada Perpangkatan


Operasi pembagian perpangkatan dengan bilangan pokok yang sama berlaku sifat sebagai berikut:
$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ 
Selanjutnya dengan menggunakan sifat $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ akan diperoleh sifat sebagai berikut:
$\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}= \frac{a^{m}}{b^{m}}$ 
Contoh :

 $\frac{3^{5}}{3^{2}}=3^{5-3}$

$\frac{3^{5}}{3^{2}}=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3}$

$= 3 \times 3$

$= 3^{2}$

$= 3^{5-3}$

6.Bentuk Baku Bilangan



Beberapa contoh berikut merupakan pernyataan-pernyataan yang ditulis dalam bentuk baku dan sering ditemukan dalam pembelajaran IPA di sekolah.
1. Jarak antara bumi dan matahari adalah $1,5\times 10^{8}$ Km
2. Atom helium mempunyai massa $6,8\times 10^{-27}$ Kg

Kedua pernyataan tersebut memuat bilangan dalam bentuk baku yaitu $1,5\times 10^{8}$ dan $6,8\times 10^{-27}$. Bilangan-bilangan dalam bentuk baku tersebut, juka disajikan dalam bentuk asli atau desimal:
$1,5\times 10^{8}$
$=1,5\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10$ 
$=1,5\times 100\cdot 000\cdot 000$ 
$=150\cdot 000\cdot 000$ 

$6,8\times 10^{-27}$

$=6,8\times \frac{1}{10^{-27}}$

$=\frac{6,8}{1\cdot 000\cdot 000\cdot 000\cdot 000\cdot 000\cdot 000\cdot 000\cdot 000\cdot 000}$

$=0,0000000000000000000000000068$

Jadi lebih mudah menuliskan $6,8\times 10^{-27}$ daripada 0,0000000000000000000000000068.

Bilangan yang sangat besar atau sangat kecil lebih mudah dituliskan dalam bentuk baku.

Bentuk baku bilangan adalah  $a\times 10^{n}$  dimana $1\leqslant a\leqslant10$ dan n adalah bilangan bulat.

Contoh lainnya:

$1\cdot 200\cdot 000=1,2\times 10^{6}$

$0,00000000064=6,4\times 10^{-10}$


7. Bentuk Pangkat Sederhana


Contoh bentuk pangkat sederhana:
1. $2^{x}=2^{3}$ 
2. $3^{x-1}=27$ 
Penyelesaian dari $2^{x}=2^{3}$  adalah sebagai berikut:
$2^{x}=2^{3}$ 
$\Leftrightarrow x=3$ 
Jadi penyelesaian dari $2^{x}=2^{3}$ adalah $x=3$ 
Sedangkan penyelesaian dari $3^{x-1}=27$  adalah sebagai berikut:
$3^{x-1}=27$ 
$\Leftrightarrow 3^{x-1}=3^{3}$ 
$\Leftrightarrow x-1=3$ 
$\Leftrightarrow x=4$ 
Jadi enyelesaian dari $3^{x-1}=27$  adalah $x=4$ 


Jika $a^{f(x))}=a^{g(x))}$ maka f(x)=g(x) dengan a adalah bilangan real dan f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x


B. Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan



Perhatikan contoh berikut.
Jarak pandang terjauh (horizon) yang dapat dilihat seseorang dalam satuan Kilometer (d) dirumuskan dengan $d=3,57\sqrt{h}$  dengan h merupakan ketinggian dari orang tersebut berdiri. Jika seseorang berdiri di atas ketinggian hotel 72 m di atas permukaan laut, maka jarak pandangan orang itu  ke horison dapat diselesaikan jika kita memahami bentuk akar.
Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut:
Diketahui h=72m. Subsitusikan h=72 ke dalam rumus $d=3,57\sqrt{h}$ diperoleh:
$d=3,57\sqrt{h}$
$=3,57\sqrt{72}$
$=3,57\times \sqrt{36\times 2}$
$=3,57\times \sqrt{36}\times \sqrt{2}$
$=3,57\times 6\times \sqrt{2}$
$\approx 30,29$ Km
Pada ketinggian 72 Km, jarak pandang orang tersebut adalah 30,29 Km.
Proses perubahan bentuk $\sqrt{72}$ di atas sampai pada bentuk $ 6\sqrt{2}$ merupakan bentuk akar. Oleh karenanya pemahaman mengenai bentuk akar sangat penting dipelajari bada sub bab selanjutnya di bawah ini.

1. Penarikan Akar Pangkat


Perhatikan perpangkatan dan penarikan akar pangkat berikut:
$2^{2}=4$ dan $\sqrt{4}=2$
$2^{3}=8$  dan $\sqrt[3]{8}=3$
$2^{4}=16$  dan $\sqrt[4]{16}=2$
Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkn bahwa:
Operasi penarikan akar pangkat merupakan kebalikan dari operasi perpangkata.
Perhatikan sifat berikut:
a. Untuk setiap $x\geq 0$ , n bilangan genap, dan $x=a^{n}$ berlaku   $\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a^{n}}=a$
b. Untuk setiap $x\geq 0$ , n bilangan ganjil dan  $x=a^{n}$ berlaku $\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a^{n}}=a$ dan  $\sqrt[n]{-x}=\sqrt[n]{-a^{n}}=-a$ 
Berdasarkan sifat di atas, kita dapat memperoleh fakta sebagai berikut:
$\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$
$\sqrt[3]{a}\times \sqrt[3]{a}\times \sqrt[3]{a}=a$
sehingga secara umum untuk n > 0 berlaku
$\underbrace{\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{a}\times...\times \sqrt[n]{a} =a}$  sebanyak n faktor


2. Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional



Untuk x dan n bilangan real dan  $n\geq 0$ berlaku:

 $x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$.

Dengan menggunakan sifat ini maka bentuk $x^{\frac{m}{n}}$ dapat diubah ke suatu bentuk akar sebagai berikut. Untuk x, m dan n bilangan real dan  $n\geq 0$ berlaku:

 $x^{\frac{m}{n}}=\left ( x^{m} \right )^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x^{m}}$

3. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional


Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bilangan bulat berlaku juga untuk operasi bilangan berpangkat rasional. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat dan rasional adalah sebagai berikut:
Untuk a dan b bilangan real, $b\neq 0$  dan m,n adalah bilangan rasional berlaku:
$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$
$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}$
$a^{m}\times b^{m}=\left ( ab \right )^{m}$
$a^{m}\div b^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}$ 

4. Bentuk  Akar


Berapakah nilai $\sqrt{2}$ ?  Untuk menjawab pertanyaan ini baiklah dimulai dari apa yang telah diketahui. Diketahui bahwa $\sqrt{1}=1$   dan $\sqrt{4}=2$ sehingga nilai dari $\sqrt{2}$  tentu saja berada di antara 1 dan 2, sehingga $\sqrt{2}$ termasuk bilangan irasional atau bentuk akar.

Definisi bentuk akar:
Untuk semua $a\geqslant 0$ dan $\sqrt{a}$  tidak dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional $\left ( \frac{a}{b}, b\neq 0 \right )$, $\sqrt{a}$ merupakan bentuk akar.

5. Sifat-Sifat Bentuk Akar


Sifat Perkalian Bentuk Akar: Untuk $a\geqslant 0$ dan $b\geqslant 0$ , berlaku sifat perkalian bentuk akar sebagai berikut: $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$

Sifat Pembagian Bentuk Akar:Untuk $a\geqslant 0$ dan $b\geqslant 0$ , berlaku sifat pembagian bentuk akar sebagai berikut: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

6. Operasi Aljabar Bentuk Akar


Operasi penjumlahan

Bentuk akar sejenis dapat dijumlahkan: $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=\left ( a+b \right )\sqrt{c}$

Operasi Pengurangan

Bentuk akar sejenis dapat kurangkan: $a\sqrt{c}- b\sqrt{c}=\left ( a-b \right )\sqrt{c}$

Operasi Perkalian

$a\sqrt{c}\times b\sqrt{d}=\left ( ab \right )\sqrt{cd}$ 

Operasi Pembagian

$\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d}}=\frac{a}{b}\times \sqrt{\frac{c}{d}}$ 


7. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar



a.Merasionalkan penyebut pecahan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$

b. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$

$\frac{a}{b+\sqrt{c}}=\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times \frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}=\frac{a\left ( b-\sqrt{c} \right )}{b^{2}-c}$

c. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk $\frac{a}{b-\sqrt{c}}$

$\frac{a}{b-\sqrt{c}}=\frac{a}{b-\sqrt{c}}\times \frac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}}=\frac{a\left ( b+\sqrt{c} \right )}{b^{2}-c}$

d. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a\left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )}{b-c}$

e. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\times \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}{b-c}$


Belum ada Komentar untuk "Matematika SMP Kelas IX: Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar"

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel