Matematika SMP Kelas VII: Operasi Penjumlahan, Operasi Pengurangan, Operasi Perkalian dan Operasi Pembagian Pecahan

Pada postingan sebelumnya telah dipaparkan mengenai pengertian pecahan, membandingkan pecahan, pecahan senilai dan lain-lain. Pada postingan kali ini akan dipaparkan mengenai operasi pecahan dilengkapi dengan soal-soal dan pembahasannya. Adapun operasi pecahan terdiri dari operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian dan operasi pembagian pecahan.

A. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

1. Penjumlahan Pecahan.

Penjumlahan dua pecahan dapat diilustrasikan dengan menggabungkan dua nilai. Perhatikan contoh berikut.Antok belajar matematika selama $\small \frac{1}{2}$ jam, dan dilanjutkan belajar fisika $\small \frac{1}{3}$ jam. Berapa jamkah Antok belajar matematika dan fisika?Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan menggunakan gambar. Gambar berikut ini menunjukkan pecahan $\small \frac{1}{2}$ dan $\small \frac{1}{3}$ .

Untuk memudahkan dalam penjumlahan pecahan, kita samakan penyebut dua pecahan yang diberikan. KPK dari 2 dan 3 adalah 6, maka $\small \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ . Selanjutnya kita ilustrasikan penjumlahan $\small \frac{3}{6}$ dan $\small \frac{2}{6}$ pada Gambar berikut.

Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan $\small \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ . Sehingga, untuk menjumlahkan dua pecahan, pertama kita pastikan penyebut kedua pecahan tersebut sama. Setelah itu kita jumlahkan pecahan tersebut dengan menjumlahkan pembilang-pembilangnya, dan membiarkan penyebut tetap.

Untuk menyamakan penyebut dua pecahan, kita juga dapat mengalikan penyebut kedua pecahan tersebut. Hasil kali kedua penyebut tersebut tidak selalu KPK dari kedua penyebut tersebut (untuk mengetahui cara mencari KPK silahkan mengunjungi link Cara Mudah Mencari KPK). Nonton juga video cara mencari KPK dari dua buah bilangan atau lebih berikut:

Setelah dua pecahan tersebut memiliki penyebut yang sama, kita tinggal menjumlahkan kedua pecahan tersebut.

Untuk sembarang dua pecahan $\small \frac{a}{b}$ dan $\small \frac{c}{d}$ berlaku:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$

Selain rumus di atas, dalam menentukan hasil penjumlahan pecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalam bentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahan itu. Kemudian, jumlahkan pembilangnya sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentuk pecahan campuran, jumlahkan bilangan bulat dengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.

Contoh Soal 1. Tentukan hasil penjumlahan dari pecahan $\frac{3}{7}+\frac{4}{5}$

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal di atas, pertama-tama mencari KPK dari 5 dan 7 adalah 35, sehingga diperoleh

$\frac{3}{7}+\frac{4}{5}=\frac{15}{35}+\frac{28}{34}$

$= \frac{43}{35}$

$= 1\frac{8}{35}$

Contoh Soal 2: Tentukan hasil penjumlahan dari $\frac{2}{5}+3$

Penyelesaian:

$\frac{2}{5}+3=\frac{2}{5}+\frac{15}{5}$

$=\frac{2+15}{5}$

$=\frac{17}{5}$

$=3 \frac{2}{5}$

Contoh Soal 3 : Tentukan hasil penjumlahan dari

Penyelesaian:

Contoh Soal 4 : Tentukan hasil penjumlahan dari

Penyelesaian:

2.Pengurangan Pecahan.

Pengurangan pecahan dapat dilakukan seperti dalam penjumlahan pecahan. Pertama, jika perlu, samakan penyebut pecahan-pecahan yang diberikan, kemudian kurangi pembilang-pembilang pecahan dan biarkan penyebutnya tetap.

Perhatikan contoh berikut.

Bintang diberi ¾ kg buah apel oleh tantenya. Karena dia memiliki adik, maka dia memberikan 1⁄6 kg apel tersebut kepada adiknya. Berapa kg sisa apel yang dimiliki oleh Bintang?

Untuk menentukan sisa apel yang dimiliki Bintang, kita cari hasil

Pengurangan kedua pecahan tersebut dapat diilustrasikan oleh Gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut kita dapat melihat bahwa

Jadi, sisa apel yang dimiliki Bintang adalah 7⁄12 kg

Untuk sembarang dua pecahan

Selain rumus di atas, dalam menentukan hasil pengurangan pecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalam bentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahan itu. Kemudian, kurangkan pembilangnya sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentuk pecahan campuran, kurangkan bilangan bulat dengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.

Contoh Soal 1:Tentukanlah hasil operasi pengurangan berikut

Penyelesaian:

Contoh Soal 2:Tentukanlah hasil operasi pengurangan berikut:

Penyelesaian.

Contoh soal 3: Tentukanlah hasil operasi pengurangan berikut

Penyelesaian:

Contoh soal 4: Tentukanlah hasil operasi pengurangan berikut

Penyelesaian:

Cara pertama

Cara kedua:

Contoh Soal 5: Tentukan nilai dari operasi pengurangan berikut

Penyelesaian:

Nonton Video Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Berikut.

B. Operasi Perkalian dan Pembagian Pecahan

1. Perkalian Pecahan.

Perkalian pecahan akan lebih mudah jika diilustrasikan dengan menggunakan luas daerah. Misalkan kita akan menghitung

Untuk mengalikan kedua pecahan tersebut, pertama kita gambar pecahan 4⁄5. Selanjutnya kita arsir 2⁄3 dari daerah 4⁄5. Perhatikan Gambar berikut

Dari ilustrasi tersebut kita dapat melihat bahwa hasil kalinya dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang kedua pecahan, per hasil kali dari penyebut.

Untuk sembarang dua pecahan

Contoh Soal 1:Tentukan hasil kali dari

Penyelesaian

Contoh Soal 2:Tentukan hasil kali dari

Penyelesaian:

Contoh 3:Tentukan hasil kali dari

Penyelesaian:

2. Pembagian Pecahan.

Pembagian pecahan dapat dimaknai serupa dengan pembagian bilangan cacah. Salah satu makna dalam pembagian bilangan cacah dapat direpresentasikan dengan pengurangan berulang. Hal ini akan kita gunakan untuk memaknai pembagian pecahan.

Dari Gambar di atas tampak bahwa kita dapat mengurangi ¾ dengan 1⁄8 sebanyak 6 kali. Sehingga,

Kemudian bagaimana jika nanti hasil baginya bukan berupa bilangan cacah. Dengan kata lain, bagaimana jika nanti setelah dikurangi secara berulang akan menghasilkan sisa? Untuk kasus ini, perhatikan ilustrasi yang ditunjukkan Gambar berikut.

Gambar di atas mengilustrasikan .

Ketika 5/6 dikurangi oleh 1/3 sebanyak 2 kali, maka akhirnya dihasilkan sisa. Jika kita bandingkan sisanya dengan pembaginya, maka kita dapat melihat bahwa sisa tersebut sama dengan setengahnya
pembagi. Sehingga,

Selain dengan menggunakan gambar, pembagian pecahan juga dapat dilakukan dengan mengubah pembagian menjadi perkalian dengan membalik pembaginya.
Perhatikan contoh berikut.

Sehingga, ide dalam pembagian tersebut adalah membuat pembaginya menjadi 1. Dengan cara yang serupa kita dapat membagi pecahan seperti berikut.

Untuk sembarang pecahan

Kesimpulannya, untuk membagi dua buah pecahan, cara yang dilakukan adalah dengan mengalikan pecahan pertama dengan balikan dari pecahan kedua. Mengapa Pembagi Harus “dibalik” dalam Proses Operasi Pembagian Pecahan ?

Contoh Soal 1: Tentukan hasil pembagian berikut

Penyelesaian

Contoh Soal 2: Tentukan hasil pembagian berikut

Penyelesaian:

Contoh Soal 3: Tentukan hasil pembagian berikut

Penyelesaian

Contoh Soal 3: Tentukan hasil pembagian berikut

Penyelesaian

Demikian pemaparan tentang Operasi Penjumlahan, Operasi Pengurangan, Operasi Perkalian dan Operasi Pembagian Pecahan untuk SMP Kelas VII. Semoga bermanfaat untuk para siswa dan guru di masa Belajar Dari Rumah akibat pandemi Covid-19.

Sumber: Beberapa bagian dari postingan ini diambil dari Modul Pecahan. Yosep Dwi Kristanto, M.Pd. Universitas Sanata Dharma Yogyakarta