Contoh Bilangan Prima dan Komposit
Contoh Bilangan Prima dan Komposit - Dalam pembahasan matematika sekolah dasar, Banyak materi yang jika dipelajari mensyaratkan pemahaman konsep bilangan prima. Materi-materi tersebut misalnya materi tentang kelipatan, faktor, kelipatan persekutuan, faktor persekutuan, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesar (FPB).
Penyelesaian soal-soal yang berhubungan dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesar (FPB) juga membutuhkan pemahaman tentang bilangan prima. Selain itu, pembahasan tentang pecahan juga membutuhkan pemahaman konsep tentang KPK yang tentu saja mensyaratkan pemahaman tentang bilangan prima.
Penyelesaian soal-soal yang berhubungan dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesar (FPB) juga membutuhkan pemahaman tentang bilangan prima. Selain itu, pembahasan tentang pecahan juga membutuhkan pemahaman konsep tentang KPK yang tentu saja mensyaratkan pemahaman tentang bilangan prima.
Dalam pembahasan di tingkat yang lebih tinggi, misalnya di perguruan tinggi apalagi di jurusan matematika juga mempelajari mata kuliah khusus yang namanya teori bilangan. Salah satu yang dipelajari di Teori bilangan adalah tentang bilangan prima terutama tes keprimaan.
Bilangan Prima
Apa sih bilangan prima itu ? Dalam situs wikipedia dijelaskan bahwa:
bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh Bilangan Prima
Jika didaftarkan dengan menggunakan saringan atau tapis Eratosthenes. Pada abad II SM seorang matematikawan Yunani yang bernama Erastothenes, menemukan cara untuk menentukan bilangan prima. Cara yang ditemukan tersebut selanjutnya disebut Saringan Erastothenes, yang bentuknya sebagai berikut :
Dari susunan bilangan di atas kemudian :
- Coretlah bilangan 1
- Coretlah semua bilangan keliptan 2, kecuali 2
- Coretlah semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3
Dari langkah 2 dan 3, semua bilangan yang merupakan kelipatan 4, 6,8 dan 9 dengan sendirinya ikut tercoret.
- Coretlah semua bilangan keliptan 5, kecuali 5
- Coretlah semua bilangan 7, kecuali 7
Langkah ini diteruskan sampai semua bilangan yang mempunyai pembagi selain dirinya sendiri dan 1 tercoret semuanya. maka bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 100, yaitu :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...,97
Selain cara di atas, ada cara untuk mengidentifikasi bilangan prima secara umum. Misalnya diketahui bilangan p kurang dari 100. untuk mengetahui apakah p merupakan bilangan prima atau bukan, secara umum dapat diidentifikasi sebagai berikut:
- p adalah bilangan ganjil kecuali 2
- p tidak mempunyai angka kembar, misalnya 33,77,55,99, bukan bilangan prima.
- Jumlah angka-angka yang membentuk p bukan kelipatan 3, misalnya 21, 27, 54, 72, bukan bilangan prima.
- Jika p terdiri dari dua angka, angka terakhir dari p bukan 5.
- Misalnya 35, 75, 95, 65 bukan bilangan prima
- Bukan bilangan kuadrat, misalnya 25, 49, 81 bukan bilangan prima.
Jika dilanjutkan maka bilangan prima yang lebih kecil dari 1000 adalah sebagai berikut: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
52
|
53
|
54
|
55
|
56
|
57
|
58
|
59
|
60
|
61
|
62
|
63
|
64
|
65
|
66
|
67
|
68
|
69
|
70
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
77
|
78
|
79
|
80
|
81
|
82
|
83
|
84
|
85
|
86
|
87
|
88
|
89
|
90
|
91
|
92
|
93
|
94
|
95
|
96
|
97
|
98
|
99
|
100
|
- Coretlah bilangan 1
- Coretlah semua bilangan keliptan 2, kecuali 2
- Coretlah semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3
Dari langkah 2 dan 3, semua bilangan yang merupakan kelipatan 4, 6,8 dan 9 dengan sendirinya ikut tercoret.
- Coretlah semua bilangan keliptan 5, kecuali 5
- Coretlah semua bilangan 7, kecuali 7
Langkah ini diteruskan sampai semua bilangan yang mempunyai pembagi selain dirinya sendiri dan 1 tercoret semuanya. maka bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 100, yaitu :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...,97
Selain cara di atas, ada cara untuk mengidentifikasi bilangan prima secara umum. Misalnya diketahui bilangan p kurang dari 100. untuk mengetahui apakah p merupakan bilangan prima atau bukan, secara umum dapat diidentifikasi sebagai berikut:
- p adalah bilangan ganjil kecuali 2
- p tidak mempunyai angka kembar, misalnya 33,77,55,99, bukan bilangan prima.
- Jumlah angka-angka yang membentuk p bukan kelipatan 3, misalnya 21, 27, 54, 72, bukan bilangan prima.
- Jika p terdiri dari dua angka, angka terakhir dari p bukan 5.
- Misalnya 35, 75, 95, 65 bukan bilangan prima
- Bukan bilangan kuadrat, misalnya 25, 49, 81 bukan bilangan prima.
Jika dilanjutkan maka bilangan prima yang lebih kecil dari 1000 adalah sebagai berikut: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
Bagaimana bilangan prima yang lebih besar dari 1000?
Adalah tidak praktis untuk menentukan bilangan prima sampai yang terbesar semampu kita. Namun dalam Teori bilangan dipelajari tentang bagaimana metode untuk menentukan apakah suatu bilangan tertentu masuk kategori bilangan prima atau tidak. Jika menekuni Teori bilangan akan diketahui beragam metode untuk mengetes keprimaan suatu bilangan.
Bilangan Komposit
Bilangan-bilangan yang tercoret dalam Saringan Erastothenes kecuali 1, yaitu 4, 6, 8,9,10,12,14,15,16,... bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor.
Contoh Bilangan Komposit: Bilangan 4, 6, 8,9,10,12,14,15,16,... merupakan bilangan komposit.Bilangan 4 , 6, 8,10, 9 dan lain lain 15, 18, 25 bukan bilangan prima atau yang disebut dengan bilangan komposit. Bilangan komposit memiliki lebih dari satu faktor atau bisa dibagi selain dengan 1 dan bilangan itu sendiri juga dapat dibagi dengan bilangan lain.