Matematika SMP Kelas VII: Himpunan

Matematika SMP Kelas VII: Himpunan- Pada postingan kali ini, akan diuraikan salah satu materi matematika yang penting karena selalu ada dalam setiap topik pembahasan matematika yaitu topik himpunan. Sadar atau tidak, dalam keseharian juga sering ditemukan contoh dari himpunan. Perhatikan lingkungan sekitar kalian pasti lebih mudah kalian temukan kumpulan atau kelompok hewan misalnya sekumpulan hewan berkaki dua, hewan yang berkaki empat dan lain-lain. Ada juga misalnya kelompok tanaman hias, kmpulan mobil berwarna merah dan sebagainya.

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan jelas dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan objek yang tidak termasuk kedalam himpunan tersebut.

Perhatikan contoh kumpulan berikut ini:
1. Kumpulan siswa yang lahir pada bulan agustus
2. Kumpulan hewam berkaki dua
3. Kumpulan warna  lampu lalu lintas

Hewan berkaki dua antara lain: ayam, itik, dan burung. Kumpilan hewan berkaki dua adalah himpunan karena setiap hewan berkaki dua maka hewan tersebut masuk kedalam himpunan hewam berkaki dua tersebut. Kumpulan lampu lalu lintas dan kelompok tanaman hiaspun sama halnya juga dengan kumpulan hewan berkaki dua yang merupakan contoh himpunan

Dan sekarang, perhatikan kumpulan berikut ini:

a. Kumpulan wanita cantik
b. Kumpulan vas bunga cantik
c. Kumpulan orang kaya di Indonesia
d. Kumpulan siswa pandai di sekolah

Kumpulan-kumpulan diatas tidak bisa dikatakan sebagai suatu himpunan. Kumpulan wanita cantik, bukan himpunan karena cantik menurut seseorang belum tentu menurut orang lain juga cantik. Begitu halnya dengan kumpulan lukisan indah karena setiap orang memiliki penilaian masing-masing maka kumpulan vas cantik juga bukan merupakan himpunan karena tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikianpun orang pandai dan kaya tidak didefinisikan dengan jelas

Notasi dan Anggota himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf kapital A, B, C,..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk kedalam himpunan tersebut menggunakan pasangan kurung kurawal {…}.

Contoh

Nyatakan himpunan beri-kut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.

a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas

Penyelesaian:

a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.  dapat ditulis  A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a,e,i,o, dan u, sehingga ditulis P = {a,e,i,o,u}.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.

Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan . Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan .

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

a. Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh:

P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah xatau y.

Contoh:

P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis

P = {10 < x< 40, xbilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menulis-kannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:
P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
A = {1, 2, 3, 4, 5}

Contoh
Z adalah himpunan bilang-an ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z de-ngan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpun-an, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya
Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.
a. Dinyatakan dengan kata-kata. Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}
b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Z = {20 < x< 46, xbilangan ganjil}
c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya. Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.

Jenis-Jenis Himpunan

Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Pada bagian depan telah kalian ketahui bahwa banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A). Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka kalian dapat menentukan banyaknya anggota himpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5. Himpunan A disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A berhingga.

Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4,6, ...}, dengan n(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebut himpunan tak berhingga, karena banyaknya anggota B tak berhingga.

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Contoh:
Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut.

a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}
c. R = {..., –2, –1, 0, 1,2, ...}

a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6.
b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.
c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tidak berhingga.

Himpunan Semesta

Himpunan Semesta merupakan kumpulan yang memuat semua anggota ataupun objek himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S.

Contoh

Himpunan semesta yang mungkin dari A = { 3, 5, 7, 9},adalah

S = {bilangan ganjil} atau 

S = {bilangan asli} atau 

S = {Bilangan Cacah} atau 

S = {bilangan real}.

Himpunan semesta yang mungkin dariB = {2, 3, 5, 7, 11, 13}, adalah 

S = {Bilangan Prima} atau 

S = {Bilangan Asli} atau 

S = {Bilangan Cacah} atau

S = {Bilangan Bulat}.
Himpunan Kosong dan Himpunan Nol

Himpunan kosong diartikan sebagai himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong disimbolkan dengan Ø atau { }.

Contoh 1.

B adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua. Karena tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi dua, maka B tidak memiliki anggota sehingga merupakan himpunan kosong. Ditulis menjadi B = { } atau B = Ø.

M adalah himpunan bilangan ganjil antara 7 dan 9. Karena tidak ada bilangan ganjil antara 7 dan 9, maka himpunan M adalah himpunan kosong atau M = { } atau M = ØHimpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1 anggota, yaitu nol (0). Jika R = {x| x< 1, x adalah bilangan bulat} maka R = {0} atau n(R) = 1. Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong.

Contoh 2.

N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam notasi himpunan.

Penyelesaian:
Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N =I atau N ={ } atau N=Ø.

Berbagi :