Menghitung Jarak Antara Dua Titik

Menghitung Jarak Antara Dua Titik - Jarak antara dua titik dapat ditentukan jika kita mengetahui koordinat kedua titik tersebut pada bidang XY. Jika P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah dua titik pada suatu bidang, maka jarak antara P dan Q dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak, seperti berikut ini: \begin{array}{l}PQ = \sqrt{(x_{2}- x_{1})^{2}+ (y_{2}- y_{1})^{2}}\end{array} 

Perbedaan antara koordinat sumbu x memberikan jarak horizontal dan perbedaan antara koordinat sumbu y memberikan jarak vertikal.

Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menemukan jarak antara dua titik dalam geometri dan juga dalam kehidupan nyata. Misalnya, mencari jarak antara dua kota, atau dua titik di bumi, pada peta. Sebelum mempelajari cara mencari jarak antara dua titik dalam geometri koordinat, mari kita pahami apa saja koordinat titik tertentu dan cara merepresentasikannya.

Apa itu Koordinat suatu titik?

Dalam geometri Euclidean, kami menemukan titik-titik yang diposisikan di bidang. Titik-titik ini ditentukan oleh koordinatnya di sepanjang sumbu x dan sumbu y. Oleh karena itu, koordinat suatu titik adalah sepasang nilai yang secara tepat menentukan lokasi titik tersebut dalam bidang koordinat.

Pada gambar di atas, koordinat titik P pada bidang dua dimensi adalah (x,y). Artinya titik P berjarak x satuan dari sumbu y dan satuan y dari sumbu x.

Koordinat suatu titik pada sumbu x berbentuk (a, 0), dengan a adalah jarak titik dari titik asal, dan pada sumbu y berbentuk (0, a), dengan a adalah jarak titik dari titik asal.

Jarak Antara Dua Titik – Menggunakan Teorema Pythagoras

Pertimbangkan situasi berikut.

Seorang anak berjalan ke arah utara sejauh 30 meter dan berbelok ke timur dan berjalan sejauh 40 meter lagi. Bagaimana kita menghitung jarak terpendek antara tempat awal dan tempat akhir?

Representasi gambar dari situasi di atas adalah:

Titik awal adalah A dan titik akhir adalah C. Jarak antara titik A, B adalah 30 m dan antara titik B, C adalah 40 m.

Jarak terpendek antara titik A dan C adalah AC. Jarak ini dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras sebagai berikut.

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

\begin{array}{l}AC= \sqrt{30^2~+~40^2}\end{array}

= 50 m

Oleh karena itu, kami mendapatkan jarak antara titik awal dan titik akhir. Dengan cara yang sama, jarak antara dua titik pada bidang koordinat juga dihitung menggunakan teorema Pythagoras atau teorema segitiga siku-siku.

Sebelum menurunkan rumus jarak antara dua titik pada bidang koordinat, mari kita pahami apa itu titik koordinat dan bagaimana menempatkannya pada bidang Cartesian.

Rumus Jarak untuk Dua Titik

Jarak antara dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) dapat diturunkan menggunakan teorema Pythagoras seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

Bagaimana Cara Memperoleh Rumus Jarak Antara Dua Titik?

Seperti yang telah kita pelajari rumus jarak untuk dua titik pada bidang diberikan oleh:

\begin{array}{l}PQ = \sqrt{(x_{2}- x_{1})^{2}+ (y_{2}- y_{1})^{2}}\end{array}

Dimana P dan Q adalah dua titik yang terpisah

Mari kita lihat, bagaimana formula ini muncul.

Bukti:

Misalkan kita memiliki dua titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) pada bidang koordinat. Mari kita wakili titik-titik ini dalam gambar.

Perhatikan bahwa kita telah mengambil titik P dan Q di kuadran pertama itu sendiri. Bagaimana jika titik-titik tersebut berada di kuadran lain? 

Seperti yang akan Anda amati dalam diskusi berikut, rumus terakhir tetap sama, terlepas dari kuadran dimana P dan Q  berada.

PS, QT tegak lurus sumbu x dan PR sejajar sumbu x.

Jarak antara titik P dan Q dihitung sebagai berikut:

S dan T adalah titik-titik pada sumbu x yang masing-masing merupakan titik akhir dari dua segmen garis sejajar PS dan QT.

⇒ PR = ST

Koordinat S dan T berturut-turut adalah (x1, 0) dan (x2, 0).

OS = x1 dan OT = x2

ST = PL – OS = x2 – x1 = PR

Demikian pula,

PS = RT

QR = QT – RT = QT – PS = y2 – y1

Dengan teorema Pythagoras,

PQ2 = PR2 + QR2

PQ = √[(x2– x1)2+ (y2– y1)2]

Karena itu,

Jarak antara dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) diberikan oleh:

\begin{array}{l}PQ = \sqrt{(x_{2}- x_{1})^{2}+ (y_{2}- y_{1})^{2}}\end{array}

 

Rumus Ini dikenal sebagai rumus jarak.

Perhatikan bahwa (x2–x1)2 adalah kuadrat dari selisih x – koordinat P dan Q dan selalu positif. Hal yang sama juga dapat dikatakan tentang $(y2– y1)^2$. 

Gunakan titik ini dan coba lihat sendiri mengapa rumusnya tetap sama untuk setiap koordinat P dan Q, di kuadran manapun.

Jarak antara sebuah titik dari titik asal

Berapakah jarak dari titik asal ke titik pada bidang? Misalkan sebuah titik P(x,y) pada bidang xy seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

Mari kita hitung jarak antara titik P dan titik asal. P adalah x satuan jauhnya dari sumbu y dan satuan y jauhnya dari sumbu x.

Dengan teorema Pythagoras,

$OP^2= x^2 + y^2$ 

\begin{array}{l}OP= \sqrt{x^2~+~y^2} \end{array}

Oleh karena itu jarak antara setiap titik (x, y) pada bidang xy dan titik asal (0, 0) adalah \begin{array}{l}\sqrt{x^2~+~y^2} \end{array}

Contoh Soal

Contoh 1: Tentukan nilai a jika jarak antara titik P(3, -6) dan Q(-3, a) adalah 10 satuan.

Penyelesaian:

Biarkan poin yang diberikan menjadi:

P(3, -6) = (x1, y1)

P(-3, a) = (x2, y2)

Menggunakan rumus jarak,

Jarak antara titik P(3, -6) dan Q(-3, a) adalah:

[(-3 – 3)2 + (a + 6)2] = 10 satuan (diberikan)

Mengkuadratkan kedua sisi persamaan,

(-6)2 + (a + 6)2 = 100

(a + 6)2 = 100 – 36 = 64

Berakar di kedua sisi, kita dapatkan;

a + 6 = ±8

Kasus I: Mempertimbangkan +8,

a + 6 = 8 ,

a = 8 – 6 = 2

Kasus II: Mempertimbangkan -8

a + 6 = -8

a = -8 – 6

a = -14

Oleh karena itu, koordinatnya adalah P(3, -6) dan Q(-3, 2) atau P(3, -6) dan Q(-3, -14).

Contoh 2: 

Tentukan relasi antara x dan y sehingga titik (x, y) berjarak sama dari titik (7, 1) dan (3, 5).

Penyelesaian:

Misalkan P(x, y) adalah titik yang berjarak sama dari titik A(7, 1) dan B(3, 5).

Diberikan,

AP = BP

⇒ AP2 = BP2

(x – 7)2 + (y – 1)2 = (x – 3)2 + (y – 5)2 (dengan rumus jarak)

x2 – 14x + 49 + y2 – 2y + 1 = x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25

-14x + 50 – 2y + 6x + 10y – 34 = 0

-8x + 8y = -16

x – y = 2

Ini adalah hubungan yang diperlukan antara x dan y.

Contoh 3: 

Temukan titik pada sumbu y yang berjarak sama dari titik A(6, 5) dan B(– 4, 3).

Penyelesaian:

 Kita tahu bahwa sebuah titik pada sumbu y berbentuk (0, y). Jadi, misalkan titik P(0, y) berjarak sama dari A dan B. Maka:

AP = BP

⇒ AP2 = BP2

(6 – 0)2 + (5 – y)2 = (– 4 – 0)2 + (3 – y)2

36 + 25 + y2– 10y = 16 + 9 + y2 – 6y

61 – 10 tahun = 25 – 6 tahun

⇒ 10y – 6y = 61 – 25

⇒ 4y = 36

⇒ y = 9

Jadi, titik yang diperlukan adalah (0, 9).

Verifikasi:

AP = √[(6 – 0)2 + (5 – 9)2]

= √(36+16)

= √52

BP = √[(-4-0)2+(3-9)2]

=√(16+36)

=√52

Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa titik (0, 9) berjarak sama dari dua titik yang diberikan.

Berbagi :